BAL PETEĞİNDEKİ MATEMATİKSEL SIR

Bal Peteğindeki Matematiksel Sır

Bal peteğinin o göz alıcı mozaiksel yapısı, çoğumuzun dikkatini çekmiştir. Altıgen şeklindeki küçük tüpler (altıgen prizma) yan yana geldiğinde, nasılda göz kamaştıran bir güzellik sergiler.

• Bal arıları bal peteğini meydana getirirken neden farklı geometrik şekiller değil de altıgeni seçmişlerdir?

• Amaçları yaptıkları peteğin göz alıcı görünmesi mi?

• Altıgen seçiminin matematiksel bir açıklaması var mı?

Belli bir alanı çevrelemek için kullanacağınız geometrik şekiller içerisinde dairenin çevre uzunluğu diğer şekillere nazaran daha kısadır. Örneğin; alanı 100 milimetre kare olan bir alana sahip üçgen ile bir daireyi kıyaslarsak, dairenin çevre uzunluğu daha kısadır. O halde bu alanı çevrelemek için balmumu kullanıyorsak, dairenin çevresi için daha az balmumu kullanabiliriz. Ancak belirli bir alanı küçük parçalara bölerek kaplamak istiyorsak daire bu iş için pekte uygun bir şekil olmayacaktır.

Şekilde de görüldüğü üzere dairelerin aralarında boşluklar oluşmaktadır.  Bu da daha fazla balmumu sarfiyatına sebep olur.

O halde bir alanı daha küçük bölgelere ayırmak için çokgenlere ihtiyacımız var.

Çokgenlerimizin çevre uzunluğunu en aza indirmek istediğimize göre düzgün çokgenler kullanmalıyız. (Düzgün çokgen bütün kenar uzunlukları ve iç açıları birbirine eşit olan çokgendir.) Çünkü düzgün çokgenler düzgün olmayanlara göre daha kısa kenar uzunluğuna sahiptir. Şekilde görüldüğü üzere alanları 36 br kare olan dikdörtgen ve kareyi kıyasladığımızda karenin kenar uzunlukları daha kısa kalmaktadır.

Alanımızı kaplamak için düzgün çokgene ihtiyacımız olduğunu anladık; peki bunlar içinden hangileri kullanılabilir.

 

Düzgün çokgenleri bir araya getirip alanımızı kaplamak istiyorsak çokgenler köşe noktalarından birleştirildiğinde açıkta alan kalmamalıdır. Bunun için kullandığımız çokgenin bir iç açısı 360 derecenin bir tam böleni olması gerekir. Örneğin bir beşgen ile altıgeni kıyaslarsak; Şekilde görüldüğü gibi beşgenler arasında boşluklar oluşmaktadır. Demek ki beşgen gibi bir iç açısı 360 derecenin tam böleni olmayan çokgenler bu iş için uygun değil.

 

Bir iç açısı 360 derecenin tam böleni olan çokgenlerimiz üçgen, dörtgen ve altıgendir. Bunlar içinde aynı büyüklükte alanı çevrelemek açısından bakıldığında, altıgenin çevre uzunluğu daha kısa kalır. O halde altıgen, daha az balmumu kullanarak bir alanı çevreleyebileceğimiz en uygun geometrik şekildir.

Not : Arılar,bal peteğinin altıgen prizma şeklindeki tüplerini yere yaklaşık 130 derecelik bir açıyla yerleştirirler ki; tüpe doldurdukları bal dökülmesin.